ত্ৰিভুজ Part-2 (দশম শ্ৰেণী)

ত্ৰিভুজৰ সাদৃশ্যতা (Similarity of Triangles)

দুটা ত্ৰিভুজ সদৃশ হ’ব, যদিহে,

i.সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণ বোৰ সমান আৰু 

ii.সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহুবোৰ একে অনুপাতত থাকে।

ইয়াত Δ ABC ~ Δ XYZ

কাৰণ,

∠A= ∠X=40⁰,

∠B= ∠Y=70⁰

∠C= ∠Z= 70⁰

আৰু

AB:XY = BC:YZ =AC:XZ =2:1

উপপাদ্য 6.1  যদি এডাল ৰেখা কোনো ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ সমান্তৰালকৈ টনা হয়, আৰু ৰেখা ডালে আন দুটা বাহুক দুটা নিদিৰ্ষ্ট বিন্দুত ছেদ কৰে, তেনেহ’লে সেই বাহু দুটা একে অনুপাতত বিভক্ত হ’ব।

গাণিতিক ভাষাত এই উপপাদ্যটোক আমি এনেদৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ। ABC এটা ত্ৰিভুজ। যদি   ইয়াৰ BC ৰেখাৰ সমান্তৰালকৈ DE ৰেখা ডাল টনা হৈছে। তেন্তে এই উপপাদ্য মতে,

উপপাদ্য 6.2: 

(এই উপপাদ্যটো আগৰ উপপাদ্যটোৰ বিপৰীতক্ৰমী)

 যদি এডাল ৰেখাই এটা ত্ৰিভুজৰ যিকোনো দুটা বাহু একে অনুপাতত ভাগ কৰে, তেনেহ’লে সেই ৰেখা ডাল তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল।

এই উপপাদ্যটোক গাণিতিক ভাষাত আমি এনেদৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ।  ABC এটা ত্ৰিভুজ। যদি ইয়াৰ AB আৰু AC বাহুৰ ওপৰত ক্ৰমে D আৰু E দুটা বিন্দু এনেদৰে আছে যাতে

তেন্তে, এই উপপাদ্য মতে , DE ∥ BC

অনুশীলনী 6.2

1. চিত্ৰ 6.17 ৰ (i) আৰু (ii)ত, DE ∥ BC, এতিয়া (i) ৰ পৰা EC আৰু (ii) ৰ পৰা AD উলিওৱা। 

সমাধান:
দিয়া  আছে, AD=1.5 cm, AE=1 cm, BD=3 cm

EC= ? 

ইয়াত, DE ∥ BC∴ থেলছৰ উপপাদ্যৰ পৰা,

∴ EC=2 cm

2.∆PQR ৰ PQ আৰু PR বাহুৰ ওপৰত ক্ৰমে E আৰু F দুটা বিন্দু।তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে EF ∥ QR হয়নে উল্লেখ কৰা।

(i) PE=3.9 cm, EQ=3 cm, PF=3.6 cm আৰু FR= 2.4cm

সমাধান: ∆PQR ৰ পৰা আমি পাওঁ,

 

এতেকে, দেখা গ’ল যে, 

∴ EF আৰু QR সমান্তৰাল নহয়।    ( উপপাদ্য 6.2  মতে)  

3. চিত্ৰ 6.18 ত যদি LM ∥ CB আৰু LN ∥ CD প্ৰমান কৰা যে,

সমাধান: ∆ABC ৰ, LM ∥ CB

এতেকে,থেলছৰ উপপাদ্য মতে,

একেদৰে, ∆ACD ৰ, LM ∥ CB,

∴ (i) আৰু (ii) পৰা দেখা যায় যে,

4. চিত্ৰ 6.19 ত যদি DE ∥ AC আৰু DF ∥ AE প্ৰমান কৰা যে,

সমাধান: দিয়া অছে, DE ∥ AC

∴ ∆ABC ৰ পৰা

আকৌ, DF ∥ AE ,

∆ABE ৰ পৰা,

∴ (i) আৰু (ii) পৰা দেখা যায় যে

∴প্ৰমাণ কৰা হ’ল। 

5.  চিত্ৰ 6.20 ত DE ∥ OQ আৰু DF ∥ OR, দেখুওৱা যে, EF ∥ QR

  সমাধান: দিয়া আছে, DE ∥ OQ

∴ ∆POQ ৰ পৰা,

আকৌ, DF ∥ AE ,

∆POR ৰ পৰা,

∴ (i) আৰু (ii) পৰা দেখা যায় যে,

∴ ∆PQR ৰ পৰা আমি পাওঁ, EF ∥ QR.

6.  চিত্ৰ 6.21 ত  A, B আৰু C বিন্দু তিনিটা  ক্ৰমে OP, OQ আৰু OR ৰ ওপৰত আছে যাতে AB ∥ PQ  আৰু AC ∥ PR । দেখুওৱা যে BC ∥ QR.

সমাধান:  দিয়া আছে, AB ∥ PQ,

 ∴ ∆POQ ৰ পৰা,

আকৌ, AC ∥ PR ,

∆POR ৰ পৰা,

∴ (i) আৰু (ii) পৰা দেখা যায় যে,

∴ ∆PQR ৰ পৰা আমি পাওঁ,  BC ∥ QR.

7. উপপাদ্য 6.1ৰ সহায়ত প্ৰমাণ কৰা যে এটা ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰে যোৱাকৈ টনা ৰেখা ডাল যদি আন এটা বাহুৰ সমান্তৰাল হয়,তেনেহ’লে ৰেখাডালে তৃতীয় বাহুটোক দ্বিখণ্ডিত কৰিব।

বিশেষ সূত্ৰ: ABC এটা ত্ৰিভুজ আৰু ইয়াৰ ABবাহুৰ মধ্যবিন্দু হ’ল D. এই D বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখা ডালে AC বাহুক E বিন্দুত এনেদৰে ছেদ কৰিছে যাতে DE ∥ BC ,প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে, AE=EC

প্ৰমাণ: দিয়া আছে, ∆ABC ৰ  ABবাহুৰ মধ্যবিন্দু হ’ল D.

∴  AD=BD……..(i)

আকৌ, DE ∥ BC 

∴ প্ৰমাণিত হয় যে,

 E, AC বাহুৰ মধ্যবিন্দু।

8. উপপাদ্য 6.2ৰ সহায়ত প্ৰমাণ কৰা যে এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখা ডাল তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল।

 বিশেষ সূত্ৰ: ABC এটা ত্ৰিভুজ। ইয়াৰ AB আৰু BC বাহুৰ মধ্যবিন্দু হ’ল ক্ৰমে D আৰু E. প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে DE ∥ BC

প্ৰমাণ: দিয়া আছে, ∆ABC ৰ

AD=BD আৰু AE=EC ………(i)

∴ ∆ABC ৰ পৰা, DE ∥ BC

প্ৰমাণ কৰা হ’ল।

9. ABCD ট্ৰেপিজিয়ামৰ AB∥ DC আৰু ইয়াৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ O বিন্দুত ছেদিত হয়। দেখুওৱা যে, 

অংকন: O বিন্দুৰ মাজেৰে MO ৰেখা ডাল অংকন কৰা হ’ল যাতে MO∥ AB  আৰু MO∥ DC.

প্ৰমাণ: যিহেতু, MO∥ DC, এতেকে, ∆ADC ৰ পৰা,

আকৌ, MO∥ AB, এতেকে, ∆ABD ৰ পৰা, 

∴ (i) আৰু (ii) ৰ পৰা, 

∴ প্ৰমাণ কৰা হ’ল।  

10. ABCD চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰক O বিন্দুত এনেদৰে ছেদ কৰে যাতে,

দেখুওৱা যে, ABCD  এটা ট্ৰেপিজিয়াম।

অংকন: O বিন্দুৰ মাজেৰে MO ৰেখা ডাল অংকন কৰা হ’ল যাতে MO∥ CD

প্ৰমান: দিয়া আছে, ABCD চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰক O বিন্দুত এনেদৰে ছেদ কৰে যাতে  

যিহেতু, MO∥ DC, 

∴ ∆ADC ৰ পৰা,

∴ (i) আৰু (ii) ৰ পৰা,

∴ ∆ADB ৰ পৰা, MO∥ AB……….(iii)আকৌ অংকন মতে, MO∥ CD……………(iv)∴ (iii) আৰু  (iv) ৰ পৰা পাওঁ ,AB ∥ CDঅৰ্থাত, ABCD  এটা ট্ৰেপিজিয়াম।